Pernahkah Anda bermain monopoli? Untuk dapat bermain monopoli anda harus melempar dadu, angka yang muncul merupakan banyaknya jalur yang harus dilalui oleh pelempar dadu.
Pelemparan dadu bersisi 6 pada permainan monopoli ini akan menghasilkan angka 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.
Kemungkinan keluarnya angka tertentu pada pelemparan dadu bersisi 6 merupakan salah satu contoh dari sekian banyak contoh penerapan materi probabilitas matematika dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh lain dari kejadian kebetulan dalam kehidupan sehari-hari adalah pelemparan sebuah uang logam.
Pada pelemparan sebuah uang logam terdapat dua kemungkinan mengenai sisi yang muncul. Sisi pertama adalah sisi angka dan sisi kedua adalah sisi gambar.
Nah, kali ini materi yang akan kita bahas adalah tentang peluang. Mari kita simak materi berikut ini.
Definisi Probabilitas Matematika
Peluang secara umum berarti peluang, namun dalam matematika peluang atau peluang adalah kemungkinan terjadinya/munculnya suatu peristiwa.
Terkadang kita mengukur sebuah peluang dengan angka, seperti “probabilitasnya sekitar 10%”, atau dengan kata-kata, seperti, “ah itu tidak mungkin” atau “pasti terjadi”.
Dalam bilangan, probabilitas selalu berkisar antara 0 hingga 1. Dimana 0 menyatakan suatu peristiwa yang tidak mungkin terjadi dan 1 menyatakan suatu peristiwa yang pasti terjadi, dalam matematika dilambangkan dengan
di mana P(K) mewakili probabilitas kejadian K terjadi.
Istilah yang Sering Digunakan
Dalam materi peluang, ada beberapa istilah yang sering digunakan, antara lain:
Ruang sampel : Himpunan semua kemungkinan hasil eksperimen
Titik sampel : Anggota ruang sampel
Kejadian : Bagian dari ruang sampel
Rumus Peluang
Sebelum membahas rumus probabilitas, kita akan membahas frekuensi relatif terlebih dahulu.
Frekuensi relatif adalah perbandingan jumlah percobaan yang dilakukan dengan jumlah kejadian yang diamati.
Frekuensi relatif dapat dicari dengan menggunakan rumus
Jika peluang tiap titik sampel dari anggota ruang sampel S sama, maka peluang kejadian K yang banyak anggotanya ditulis n(K) dapat dicari dengan menggunakan rumus
Contoh soal
Pada pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang munculnya angka genap pada dadu tersebut
Diskusi
Ruang sampel S adalah {1,2,3,4,5,6}
n(S) = 6
Sisi genap pada dadu adalah {2,4,6}
n(K) = 3
Jadi
Jadi peluang munculnya angka genap pada dadu tersebut adalah 0,5.
Peristiwa Gabungan
Peristiwa majemuk adalah peristiwa baru yang terbentuk dari perlakuan dua peristiwa atau lebih.
Acara Pelengkap
Kejadian K komplementer adalah semua kejadian yang bukan merupakan kejadian K. Suatu kejadian K dan kejadian K yang saling melengkapi (yang dinyatakan sebagai K’) memenuhi
P(K) + P(K’) = 1 atau P(K’) = 1 – P(K)
Contoh soal:
Ana memainkan kartu bridge, lalu mengambil satu kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya kartu selain As
Diskusi
jumlah semua kartu jembatan
n(S) = 52
jumlah semua kartu As
n(K) = 4
Penambahan Probabilitas
Insiden bersifat saling eksklusif
Ada dua kejadian A dan B yang kemudian disebut kejadian saling lepas jika tidak ada satupun unsur pada kejadian A yang sama dengan unsur-unsur kejadian B.
Peluang terjadinya A atau B, sedangkan A dan B merupakan kejadian saling lepas, rumusnya adalah
P(A Ս B) = P(A) + P(B)
Contoh soal
Ada dua dadu, biru dan hijau. Kedua dadu tersebut kemudian dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali, tentukan peluang terambilnya sisi dadu yang berjumlah 3 atau 10!
Diskusi
Hasil pelemparan dadu kemudian dituliskan pada tabel dibawah ini
| Dadu | Merah | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1.6) | |
| Dadu | 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| Biru | 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) | |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5.5) | (5,6) | |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
Jumlah dadu yang muncul 3
SEBUAH = {(1,2), (2,1)}
n(A) = 2
Jumlah dadu tampaknya 10
B = {(4,6), (5,5), (6,4)}
Karena tidak ada anggota A yang sama dengan anggota B, maka kejadian A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas, maka gunakan rumus:
Jadi peluang munculnya angka 3 atau 10 pada dadu tersebut adalah .
Peristiwa tidak saling eksklusif
Dua kejadian A dan B dikatakan tidak saling lepas jika paling sedikit terdapat satu unsur pada kejadian A yang sama dengan unsur yang terdapat pada kejadian B. Peluang terjadinya A atau B, sedangkan A dan B merupakan kejadian yang sama. tidak saling eksklusif, rumusnya adalah
P(A Ս B) = P(A) + P (B) – P(A Ո B)
Dimana P(A Ո B) mewakili unsur-unsur yang terdapat pada kejadian A dan B
Contoh soal
Doni sedang bermain bridge, lalu dia mengambil sebuah kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya kartu berupa kartu sekop dan kartu bergambar (J,Q,K)!
Diskusi
Jumlah kartu jembatan
n(S) = 52
jumlah kartu sekop
n(A) = 13
jumlah kartu bergambar
n(B) = 12
karena terdapat kartu-kartu bergambar yang tergabung dalam kartu sekop (J sekop, Q sekop, dan K sekop) maka A dan B merupakan dua kejadian yang tidak saling lepas sehingga digunakan rumus:
Jadi peluang terambilnya kartu adalah kartu sekop dan kartu bergambar (J,Q,K) adalah .
Peristiwa tidak tergantung satu sama lain
Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas apabila terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B. Peluang kejadian A dan B terjadi bersamaan adalah
P(A dan B) = P(A) × P(B)
Contoh soal
Andi melempar dua buah dadu, berapa peluang terambilnya bilangan prima genap pada dadu pertama dan bilangan ganjil pada dadu kedua?
Diskusi
Misalkan A = kejadian munculnya bilangan prima genap pada dadu pertama
A={2}, maka P(A) = 1/6
misalkan B = kejadian munculnya angka ganjil pada dadu kedua = {1,3,5} maka P(B) = 3/6
Kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B, maka digunakan rumus:
Jadi peluang munculnya bilangan prima genap pada dadu pertama dan bilangan ganjil pada dadu kedua adalah 0,5.
Peristiwa bersyarat
Apabila terdapat dua peristiwa yaitu peristiwa A dan peristiwa B, maka peristiwa tersebut dikatakan peristiwa bersyarat, jika peristiwa A mempengaruhi terjadinya peristiwa B atau sebaliknya, maka dapat dituliskan sebagai berikut
P(A Ո B) = P(A) × P(B|A)
Atau
P(A Ո B) = P(B) × P(A|B)
Contoh soal
Terdapat sebuah kotak yang berisi 5 bola kuning dan 4 bola biru. Jika diambil dua bola berturut-turut dan tanpa pengembalian, berapa peluang terambilnya bola kuning pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan kedua?
Diskusi
Pada pengundian pertama diperoleh 5 bola kuning dari 9 bola yang tersedia.
Maka P(K) = 5/9
Pada pengundian kedua, tersedia 4 bola biru dari sisa 8 bola (syarat: bola kuning diambil).
Maka P(B|K) = 4/8
karena peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi, maka digunakan rumus:
Jadi peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola hijau pada pengambilan kedua adalah 5/18.
Contoh Pertanyaan Peluang
Ada wadah P, didalamnya terdapat 8 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Wadah O, didalamnya terdapat 7 kelereng merah dan 8 kelereng hitam. Kemudian diambil satu kelereng secara acak dari wadah P dan O. Peluang terambilnya kelereng putih dari wadah P dan kelereng hitam dari wadah O adalah…
Menjawab
Untuk mengerjakan soal pertama, kita harus membuat probabilitas di setiap container. Kemudian informasi yang diberikan dari soal tersebut adalah penggunaan kata ‘dan’ sehingga peluang terjadinya pada wadah P dan wadah O akan dikalikan seperti pada penyelesaian di bawah ini.
Kasus P: Peluang terambilnya kelereng berwarna putih = P(P) = 5/13
Kasus O: Peluang terambilnya kelereng hitam = P(O) = 8/15
Peluang terambilnya kelereng putih dari wadah P dan kelereng hitam dari wadah O adalah P(PO).
P(PO) = P(P) x P(O)
P(PO) = (13/5) x (15/8) = 8/39
Peluang terambilnya 8/39 dari wadah P dan O
Wawan akan menguji peluang kejadian pada dua buah dadu yang dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya jumlah kedua dadu adalah 2 atau 8?
Menjawab
Dalam mengerjakan soal peluang dadu, kita harus mengetahui ruang sampel dadu. Dadu mempunyai ruang sampel sebanyak 36. Untuk lebih jelasnya kita dapat melihat tabel ruang sampel dadu dibawah ini.
| DADU | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1.6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5.5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
Berdasarkan permasalahan, jika kita melempar dadu, kemungkinan akan muncul angka 2 jika kedua sisi dadu menunjukkan angka 1 seperti warna kuning pada tabel diatas. Untuk bilangan 8 terdapat 5 kemungkinan yaitu (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Jadi proses kerjanya seperti di bawah ini.
Peluang terambilnya angka 2 : P(2) = 1/36
Peluang terambilnya angka 8 : P(8) = 5/36
Peluang terambilnya angka 8 atau 2: P(2) + P(8) = 1/36 + 5/36 = 6/36 = 1/6
Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kata “PELUANG”?
Menjawab
Saat mengerjakan soal jenis ini, pertama-tama kita harus memperhatikan jumlah huruf pada kata “OPPORTUNITY”. Kemudian, kita harus menuliskan angka per hurufnya seperti di bawah ini agar lebih jelas.
Jumlah kata dan huruf: n = 7; P = 1; E = 1; L = 1; kamu = 1; SEBUAH = 1; N = 1; G = 1.
Banyak pengaturan yang dapat dilakukan: P(S) = 
= 5040 kata
Menjawab
Kita dapat menggunakan materi kofaktorial sebagai peluang untuk mengatasi masalah ini.
Kesimpulan
Sekian materi peluang kali ini. Semoga bermanfaat dan sampai jumpa lagi di materi lainnya.
rumuspintar.com