Pembahasan kali ini tentang pemrograman linier.
Tentu Anda sudah belajar tentang persamaan garis? Apa yang kamu pelajari persamaan garis?
Pada materi persamaan garis kalian telah diajarkan cara menggambar garis pada bidang kartesius.
Pengetahuan tentang persamaan garis akan kita gunakan pada materi pemrograman linier ini.
Selain persamaan garis, materi lain yang akan digunakan adalah tentang pertidaksamaan linier dua variabel.
Berikut penjelasannya.
Materi Program Linier
Pernahkah Anda mendengar tentang pemrograman linier?
Pemrograman linier adalah suatu metode untuk menentukan solusi optimal suatu masalah linier.
Dalam program linier terdapat fungsi tujuan atau fungsi tujuan. Kondisi, batasan, dan batasan dalam program linier merupakan salah satu bentuk pertidaksamaan linier.
Dengan menggunakan program linier. Selanjutnya kita akan membahas penerapan program linier dalam kehidupan sehari-hari.
Program Linier dalam Kehidupan Sehari-hari
Pemrograman linier banyak diterapkan di berbagai bidang. Dalam bidang matematika dan ekonomi, program linier dapat digunakan sebagai teknik optimasi produksi pada suatu pabrik atau perusahaan.
Di bidang farmasi, program linier juga digunakan untuk menentukan dan memodelkan optimalisasi produksi obat.
Hampir semua bidang menggunakan pemrograman linier sebagai metode optimasinya.
Dengan menggunakan program linier maka kegiatan (misalnya produksi pabrik, produksi obat, dll) akan optimal, sehingga perusahaan mempunyai keuntungan yang lebih besar dibandingkan jika tidak menggunakan program linier.
Selanjutnya akan dijelaskan langkah-langkah dalam menentukan nilai optimal dengan program linier.
Langkah Program Linier
Berikut langkah-langkah dalam melakukan optimasi dengan menggunakan teknik linear programming.
- Tentukan variabel kendala.
- Tentukan fungsi tujuan.
- Bangun model dari variabel kendala.
- Gambarlah grafik model yang telah dibuat.
- Tentukan titik potong grafik tersebut.
- Tentukan area solusi yang tepat.
- Hitung nilai optimal fungsi tujuan.
Selanjutnya kita akan membahas contoh soal program linier. Baca juga Fungsi Komposisi.
Contoh Soal Program Linier
1. Ada seorang pedagang buah naga yang sedang memanen kebunnya. Ia menyewa 30 unit truk dan kendaraan colt dengan total muatan 300 karung. Tiap truk hanya mampu menampung 15 karung dan Colt hanya mampu mengangkut 10 karung. Tentukan bentuk model matematikanya.
Diskusi
Saat mengerjakan soal cerita seperti ini, kita dapat membuat contoh truk dan keledai. Kita menganggap truk sebagai fungsi dari x dan kuda jantan sebagai fungsi dari y. Selain itu, jumlah karung yang mampu ditampung sebanyak 300 karung, dengan masing-masing truk mampu menampung 15 karung dan colt 10 karung. Jadi kita dapat menulis model matematikanya seperti di bawah ini.
Fungsi banyaknya karung = 15x + 10y = 300
Fungsi banyaknya karung = 3x + 2y = 60
Fungsi besaran = x + y = 30
Jadi model matematika dari soal tersebut adalah F(jumlah): x + y = 30 dan F(jumlah karung): 3x + 2y = 60.
2. Lendra sedang berbelanja di pasar. Dia membeli beberapa rambutan dan pepaya. Jumlah minimal yang dibeli adalah 20 buah, dan jumlah rambutan maksimal 12 buah. Harga rambutan per buah 5 ribu dan pepaya 2 ribu. Dia punya uang tunai 40 ribu. Jika Lendra membeli rambutan dan b pepaya, tentukan bentuk model matematikanya
Diskusi
Seperti soal sebelumnya, kita membuat contoh untuk pembelian dan jumlah buah dimana rambutan adalah fungsi x dan pepaya adalah fungsi y.
Fungsi pembelian: 5000x + 2000y = 40000
Fungsi pembelian: 5x + 2y = 40
Fungsi bilangan buah: x + y ≥ 20
Fungsi maksimal rambutan : x ≤ 12
Ini membentuk model matematika untuk semua informasi dalam soal.
3. Diberikan persamaan x + y = 10 dan diberikan fungsi seperti di bawah ini
{(x,y)| x ≥ 0; kamu ≥ 0; 2x + 3 tahun ≤ 8; 3x + 2y ≤ a}
Tentukan nilai a pada fungsi di atas sehingga nilai maksimum x + y = 10
Diskusi
Pertama kita harus menulis semua fungsi yang ada dengan benar seperti pada contoh di bawah ini.
x ≥ 0
kamu ≥ 0
2x + 3 tahun ≤ 8
3x + 2y ≤ a
Kemudian tambahkan kedua fungsi di atas.
2x + 3 tahun ≤ 8
3x + 2y ≤ a +
5x + 5y ≤ 8 + a
5 (x + y) ≤ 8 + a
5 (10) ≤ 8 + a
50 – 8 ≤ a
42 ≤ a
Jadi, nilai a ≥ 42 untuk mendapatkan nilai maksimal x + y = 10.
3. Punto adalah pedagang yang bermodal Rp. 1.000.000 untuk membeli arak dan ketan. Harga beli per kg buah anggur adalah Rp. 4000 dan ketan besar Rp. 1600. Gudang Punto hanya mampu menampung 400 kg. Tentukan jumlah maksimal arak dan ketan.
Diskusi
Seperti soal sebelumnya, kita dapat membuat contoh soal ini dimana buah anggur adalah fungsi dari x dan ketan besar adalah fungsi dari y. Jadi, bentuk pertidaksamaannya dapat kita tuliskan sebagai berikut.
Fungsi kapasitas: x + y ≤ 400
Fungsi modal: 4000x + 1600y ≤ 1.000.000 disederhanakan menjadi 5x + 2y ≤ 1250
x ≤ 0 ; kamu ≤ 0
Dari persamaan tersebut kita dapat membentuk diagram sesuai dengan nilai maksimum pada masing-masing persamaan. Kita bisa memasukkan nilai 0 dan 400 pada setiap persamaan sehingga kita dapat mengetahui titik ekstrimnya.
- Poin 1 (0,400) merupakan titik ekstrim tetapi tidak ada fungsi wine
- Poin 3 (400.0) merupakan titik ekstrim namun tidak ada fungsi dari beras ketan
- Poin 2 (xBkamuB ) menggunakan penghapusan dua fungsi di atas.
5x + 2y ≤ 1250
x + kamu ≤ 400 |x2 –
5x + 2y ≤ 1250
2x + 2y ≤ 800 –
3x ≤ 450
Jadi nilai x adalah 150. Jumlah buah anggur dan ketan adalah 400, sedangkan banyaknya buah anggur adalah 150, maka jumlah buah ketan adalah 250.
5. Diketahui fungsi f(x,y) = 4x + 5y pada grafik di bawah ini. Tentukan garis maksimum fungsi tersebut
Diskusi
Pertama, kita harus melihat titik ekstrim pada gambar di atas. Jadi titik ekstrimnya adalah B(3,6), C(8,2), dan D(8,0).
Kemudian kita masukkan titik ekstrim tersebut ke dalam persamaan f(x,y) = 4x + 5y.
Nilai terbesar adalah titik maksimum. Berdasarkan perhitungan, titik maksimum melintasi garis BC. Jadi dapat disimpulkan BC merupakan garis maksimum.
6. Pada ilustrasi berikut terdapat permasalahan terkait penumpang pesawat, berat bagasi, dan harga tiket.
Dalam sebuah pesawat terdapat 48 kursi penumpang. Setiap penumpang kelas satu dapat membawa bagasi maksimal 60 kg, sedangkan penumpang kelas ekonomi hanya diperbolehkan membawa bagasi maksimal 20 kg. Pesawat hanya mampu menampung bagasi penumpang sebanyak maksimal 1.440 kg. Jika harga tiket penumpang kelas satu Rp1.500.000,00 dan penumpang kelas ekonomi Rp1.000.000,00, tentukan jumlah kursi kelas satu dan kelas ekonomi agar pendapatan dari penjualan tiket maksimal.
Diskusi
Misalnya saja variabel kendalanya adalah sebagai berikut.
- x : jumlah penumpang kelas satu
- y : jumlah penumpang kelas ekonomi
Menentukan fungsi tujuan:
Fungsi tujuan dari masalah ini adalah untuk menentukan pendapatan maksimum:
z = 1.500.000 x + 1.000.000 tahun
Kembangkan model dari variabel kendala:
Jumlah kursi maksimum adalah 48.
Jatah bagasi maksimal adalah 60 kg (kelas satu) dan 20 kg (kelas ekonomi) dengan total jatah bagasi maksimal 1.440 kg.
Sehingga
x + kamu ≤ 48
60 x + 20 tahun ≤ 1,440
Grafik fungsi:
x + kamu ≤ 48
Titik yang dilalui garis tersebut adalah (48, 0) dan (0, 48)
60 x + 20 tahun ≤ 1440
Titik yang dilalui garis tersebut adalah (24, 0) dan (0, 72)
Grafik fungsi kendalanya adalah sebagai berikut.
Tentukan titik potong kedua grafik tersebut.
Dengan menggunakan konsep SPLDV diperoleh
x + kamu = 48 dan kamu = 48 – x
60 x + 20 tahun = 1,440
Sehingga
60 x + 20 (48 – x) = 1,440
60x + 960 – 20x = 1.440
40x = 1.440 – 960
40x = 480
x = 480/40 = 12
x + kamu = 48
x = 12 dan kamu = 48 – 12 = 36
Titik potong dua garis di (12, 36)
Tentukan luas penyelesaiannya.
Pertimbangkan area solusi berikut.
Pada gambar ini terdapat area solusi berwarna ungu. Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai optimum fungsi tujuan.
Titik optimumnya adalah (0, 0), (24, 0), (12, 36), dan (0, 48).
Fungsi tujuan: z = 1.500.000 x + 1.000.000 y
(0, 0) à z = 1.500.000 (0) + 1.000.000 (0) = 0
(24, 0) à z = 1.500.000 (24) + 1.000.000 (0) = 36.000.000
(12, 36) à z = 1.500.000 (12) + 1.000.000 (36) = 18.000.000 + 36.000.000 = 54.000.000
(0,48) à z = 1.500.000 (0) + 1.000.000 (48) = 48.000.000
Penjualan tiket maksimal 54.000.000
Jadi, untuk penjualan tiket maksimal, jumlah penumpang kelas satu sebanyak 12 penumpang dan jumlah penumpang kelas ekonomi sebanyak 36 penumpang.
Kesimpulan
- Pemrograman linier merupakan suatu teknik optimasi yang digunakan dalam berbagai bidang untuk menentukan optimalisasi suatu kegiatan (misalnya produksi, penjualan, dll).
- Langkah-langkah perhitungan dengan menggunakan program linier adalah menentukan variabel kendala, menyusun fungsi tujuan, membangun model, menggambar grafik model, menentukan titik potong grafik, menentukan luas solusi, dan menentukan nilai optimum fungsi tujuan.
Demikianlah pembahasan mengenai program linier. Semoga bermanfaat bagi pembaca semua. Baca juga Persamaan linear.
rumuspintar.com